Понятие математической функции

Понятие математической функции сложилось не сразу, а прошло долгий и тернистый путь развития. В математических трудах древности функциональная зависимость содержится уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Например, формула площади круга S = 3*r2, выведенная вавилонскими учеными еще 4,5 тыс. лет назад, несознательно указывает, что площадь круга является функцией от его радиуса. Как способ задания функции можно рассматривать и таблицы квадратов и кубов чисел или тригонометрические таблицы, составление которых началось задолго до начала нашей эры. Но, только начиная с 17 в. понятие функции становится одним из важнейших в познании реального мира.

Понятие математической функции сложилось не сразу, а прошло долгий и тернистый путь развития

В 17 в., благодаря проникновению в математику идеи переменных, понятие математической функции получает вполне сознательное применение, но носит еще интуитивный характер. Например, в работах Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница понятие математической функции связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых в зависимости от абсцисс (х); путь и скорость в зависимости от времени (t) и т. п. Правда, Декарт в своей "Геометрии" рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, преимущественно алгебраических. Таким образом, понятие математической функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения, т. е. формулы.

Впервые слово "функция" (от латинского functio – исполнение, совершение) употребил Лейбниц в 1673 г., а выражение "функция от икс" стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 г.

Определение математической функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянной".

Новые шаги в развитии естествознания и математики в 19 в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия математической функции. Большой вклад в решение вопроса по поводу того, что следует понимать под функцией внесли Эйлер, Д'Аламбер, Д. Бернулли, Ж. Фурье и другие ученые 18 в.

Сегодня понятие математической функции можно озвучить так: функция — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Понятие математической функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Инструменты