Завдання на побудову
Перші завдання на побудову виникли в давнину. Виникли вони з господарських потреб людини. Вже давнім архітекторам і землемірам доводилося вирішувати найпростіші завдання на побудову, пов'язані з їхньою професією.
Найперші завдання на побудову, очевидно, вирішувалися безпосередньо на місцевості і полягали у проведенні прямих ліній і побудови прямого кута.
До завдань на побудову вдавалися древні інженери, коли робили робоче креслення тієї чи іншої споруди та вирішували питання, пов'язані з віднайденням красивих геометричних форм споруди та її найбільшої місткості. Завдання на побудову допомагали людям у їхньому господарському житті, їх рішення формулювалися у вигляді "практичних правил", виходячи з наочних міркувань. Саме вони і були основою виникнення наочної геометрії, що знайшла досить широкий розвиток у древніх народів Єгипту, Вавилона, Індії та ін.
Однак практичні правила перших землемірів, архітекторів, астрономів ще не становили справжньої геометрії як дедуктивної науки, заснованої на теоретичних побудовах та доказах. Завдання на побудову стали вельми поширеними у Стародавній Греції, де вперше створилася геометрична теорія в систематичному викладі.
Першим грецьким вченим, який розглядав геометричні завдання на побудову, був Фалес Мілетський. Це він, користуючись побудовою трикутника, визначив відстань, недоступну безпосереднього вимірюванню – від берега до корабля у морі. Це він вирахував і висоту єгипетської піраміди по тіні, яка нею відкидалася.
Завдання на побудову цікавили Піфагора. Піфагор та його учні витратили багато сил, щоб окремим геометричним відомостям, які були до того часу набором інтуїтивних правил, надати характеру справжньої науки, заснованої на логічних умоглядних доказах. Особливо сильно завдання на побудову цікавили Платона, засновника знаменитої "Академії" в Афінах. Платон та його учні вважали побудову геометричною, якщо вона виконувалася за допомогою циркуля і лінійки, тобто шляхом проведення кіл і прямих ліній. Якщо ж у процесі побудови використовувалися інші креслярські інструменти, то будова не вважалася геометричною. Стародавні греки за Платоном будували геометричні побудови і вважали їх ідеалом у геометрії.
Вже в давнину грецькі математики зустрілися з трьома завданнями на побудову, які не піддавалися рішенню. Ці завдання такі:
- Перше завдання. Завдання про подвоєння куба. Потрібно побудувати ребро куба, який за об'ємом був би вдвічі більшим за цей куб.
- Друге завдання. Завдання про трисекцію кута. Потрібно довільний кут розділити на три рівні частини.
- Третє завдання. Завдання про квадратуру кола. Потрібно побудувати квадрат, площа якого дорівнювала б даному колу.
Ці три завдання на побудову і звуться "знаменитими геометричними завданнями давнини".
Велику роль завдання на побудову відіграють у "Началах" Евкліда (3 ст. до н. е.), де існування фігур доводиться їх побудовою за допомогою циркуля та лінійки. У "Началах" Евкліда знаходяться майже всі завдання на побудову, які вивчаються нині у школі.
