Що таке вектор?

На запитання: "Що таке вектор?" – зазвичай відповідають: "Це така математична величина, яка має розмір та напрямок". Прагнучи розвіяти таку поширену оману і виявити суть векторної величини, відомий механік А. Мінаков (1893–1954) на своїх лекціях наводив наочний приклад. Потоки автомобілів характеризуються величиною та напрямком, отже, за наведеним тут визначенням – вони вектори. Тепер уявіть собі перехрестя вулиць із одностороннім рухом. Однією проїжджають 300, а іншою 400 машин на годину. Складаємо вектори за правилом паралелограма і отримуємо: щогодини в будівлю на розі перехрестя врізається 300² + 400² = 500 автомобілів, і лише 200 минуть перехрестя без аварії.

Дурниця? Звичайно. Чому? І тому, що додавання за правилом паралелограма – це елемент визначення вектора. Вектор - це така математична величина, яка має розмір, характеризується напрямом і складається з собі подібною величиною за правилом паралелограма. Останнє визначення найважливіше.

Тому, як образно говорив Мінаков, якщо приходять до вас дві математичні величини і кажуть: "Ми – вектори!", їм треба сказати: "Складіться!" І якщо вони складуться за правилом паралелограма, вони – вектори, а якщо не складуться – ні.

Вектор може позначатись маленькою латинською літерою зі стрілкою (іноді – рисочкою) над нею. Інший поширений спосіб запису: виділення символу жирним шрифтом, наприклад a.

Вектор у геометрії природно зіставляється переносу (паралельному переносу), що, очевидно, прояснює походження його назви (лат. vector, що несе). Справді, кожен спрямований відрізок однозначно визначає собою якесь паралельне перенесення площини чи простору: скажімо, вектор природно визначає перенесення, у якому точка A перейде у точку B, ще й назад, паралельне перенесення, у якому B перетворюється на A.

Вектори знаходять широке застосування в геометрії та в прикладних науках, де використовуються для представлення величин, що мають напрямок (сили, швидкості, тощо). Застосування їх полегшує ряд операцій - наприклад, визначення кутів між прямими або відрізками, обчислення площ фігур.

При роботі з векторами часто вводять декартову систему координат і в ній визначають координати вектора, розкладаючи його за базовими векторами. Розкладання по базису геометрично можна подати за допомогою проекцій вектора на координатні осі. Якщо відомі координати початку та кінця, координати самого вектора виходять відніманням з координат кінця вектора координат його початку.