В апогеї чи в перигеї?

Космічний корабель стартує з борту штучного супутника Землі, який рухається навколо планети по еліптичній орбіті. У який момент вигідніше здійснити пуск - коли супутник буде в апогеї чи в перигеї? Здавалося б, відповідь цілком зрозуміла: зрозуміло, в апогеї: адже чим далі від Землі, тим слабше земне тяжіння, тим нижча швидкість звільнення, а отже, тим менша необхідна витрата палива. Однак не слід забувати, що, згідно з другим законом Кеплера, супутник рухається своєю орбітою зі змінною швидкістю. І в апогеї вона найнижча, а в перигеї – найвища. Що вигідніше? Менша швидкість звільнення в апогеї, зате й менший запас початкової швидкості чи більший запас початкової швидкості в перигеї, але й вища швидкість звільнення, що має набрати корабель? Ніякі якісні міркування не дадуть відповіді на це питання – потрібні точні розрахунки. Необхідно обчислити для апогею та перигею різниці між швидкістю руху штучного супутника та швидкістю звільнення в даній точці навколоземного простору та порівняти ці різниці між собою. Очевидно, перевага буде віддана тому варіанту запуску штучного супутника, для якого ця різниця виявиться меншою.

Розглянемо конкретний приклад. Нехай запуск космічного корабля здійснюється з борту штучного супутника Землі, який рухається орбітою з висотою апогею 330 км і висотою перигею 180 км. Значення швидкості звільнення для різних висот давно обчислені та зведені у спеціальні таблиці. Заглянувши у таку таблицю, ми знайдемо, що з висоти перигею орбіти цього супутника Землі вона становить 11040 м/с, а з висоти апогею - 10918 м/с. Не важко розрахувати і швидкість руху супутника в перигеї і апогеї. Вона становить відповідно 7850 та 7680 м/с. Тепер обчислимо шукані різниці. Для перигею 11040 – 7850 = 3190 м/с, для апогею 10918 – 7680 = 3238 м/с. Таким чином, більш вигідною точкою для старту є не апогей, як могло здатися на перший погляд, а перигей. Цікаво, що зі збільшенням еліптичності орбіти переваги перигейного старту зростають ще більшою мірою і парадоксальність ситуації стає особливо виразною. Наприклад, при сильно витягнутій орбіті з перигеєм на відстані 40 тис. км від Землі та апогеєм, розташованим за місячною орбітою на відстані 480 тис. км від нашої планети, досягти другої космічної швидкості і вирватися з "тисків" земного тяжіння в чотири (!) рази легше із району перигею, ніж із району апогею. Дивно виходить, чи не так? Цей факт вкотре демонструє оманливість багатьох наочних уявлень. Втім, слід ще раз підкреслити, що парадокс, про який йдеться, справедливий лише при порівнянні вигідності запусків з одного і того ж супутника, що рухається цією орбітою. Цікаво, що при зниженні штучного супутника Землі має місце зворотний парадокс. Здавалося б, вигідніше включати гальмівну рухову установку і починати гальмування в той момент, коли супутник проходить перигей, тобто знаходиться найближче до земної поверхні. Але розрахунки показують, що у цьому разі головну роль грає не відстань до Землі, а швидкість руху супутника по орбіті. В апогеї вона нижче, і тому з погляду витрати палива починати спуск найдоцільніше саме з апогейної ділянки орбіти. Правда, в даному випадку йдеться про дещо ідеалізоване завдання, оскільки не береться до уваги швидкість входження супутника в щільні шари земної атмосфери.