Досконалі числа

Досконалі числа дорівнюють сумі своїх дільників, відмінних від самих чисел, наприклад 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Найменше досконале число: 6 = 1 + 2 + 3. Досконалі числа зростають вражаюче, скажімо, 6-те за рахунком вимірюється вже мільярдами (8589869056). На сьогоднішній день відомо найбільше, 31 за рахунком, досконале число (2²¹⁶⁰⁹¹ – 1)*2²¹⁶⁰⁹⁰. Воно отримане завдяки відкриття у вересні 1985 р. математиком Марсенном числа (2²¹⁶⁰⁹¹ – 1), яке в даний час відоме як 2-е найбільше просте число. Багатьом поколінням математиків досконалі числа не дають спокою. Наприклад, усі виявлені досі досконалі числа – парні ; чи нескінченна послідовність таких чисел – невідомо. І зовсім неприступною виявилася проблема досконалих непарних чисел.

Непарних доконаних чисел досі не виявлено, проте не доведено й те, що їх не існує. Невідомо також, чи безліч всіх досконалих чисел. Доведено, що непарне досконале число, якщо воно існує, має не менше ніж 9 різних простих дільників і не менше 75 простих дільників з урахуванням кратності.

Усі парні досконалі числа (крім 6) є сумою кубів послідовних непарних натуральних чисел: 1³ + 3³ + 5³ + . ... Сума всіх чисел, обернених дільникам досконалого числа (включаючи його самого), дорівнює 2. Це прямий наслідок визначення і того факту, що сума дільників при діленні на саме число дає суму чисел, обернених дільникам. Всі парні досконалі числа, крім 6 і 496, закінчуються в десятковому записі на 16, 28, 36, 56 або 76. Залишок від ділення парного досконалого числа, відмінного від 6, на 9 дорівнює 1.

Особливий характер чисел 6 і 28 був визнаний у культурах, що базуються на авраамічних релігіях, - стверджують, що Бог створив світ за 6 днів і звернули увагу на те, що Місяць робить оберт навколо Землі приблизно за 28 днів.